Роговица является одной из основных светопропускающих структур глаза и играет важнейшую роль в формировании правильной светопроекции. По форме роговица представляет собой выпукло-вогнутую линзу, а ее прозрачность обеспечивает уникальная структура слагающего ее вещества. Даже незначительные изменения в гомеостазе роговичной ткани (на уровне любого из ее слоев) могут приводить к изменению прозрачности. С точки зрения биофотоники прозрачность роговицы определяется как ничтожным поглощением света, так и низкой светорассеивающей способностью ее вещества. Возрастание именно светорассеивающих свойств приводит к нарушению прозрачности роговицы и возникновению помутнений.

По данным литературы, светорассеивание роговицы имеет определенную изменчивость, включая суточные и возрастные колебания. Можно предположить, что чаще всего изменения прозрачности роговицы происходят вследствие нарушения светопропускающей способности эпителия. Однако и после ряда офтальмологических оперативных вмешательств (в том числе после кераторефракционных операций) и вследствие перенесенных заболеваний происходят изменения микроструктуры стромы, изменяются ее оптические параметры и как следствие — ее прозрачность (Mohammad A Rashad, Clinical Ophthtalmology, 13 июня 2012 г.). В некоторых случаях даже при допустимом уровне клинической прозрачности возникает проблема невозможности подбора оптической коррекции при сохранности геометрии роговицы, связанная с особенностями усилившегося светорассеяния. Все эти причины привели к необходимости разработки методов корректной объективной оценки прозрачности роговицы и отдельных ее слоев.

После появления биомикроскопии светорассеяние роговицы оценивали субъективно, и только в конце 20-го века стали появляться работы, посвященные денситометрическому анализу яркости оптического среза — попытке количественного описания светорассеивающей способности сред роговицы.

В настоящий момент для неинвазивного исследования прозрачности роговицы используют приборы, основанные либо на принципе денситометрии оптических срезов, либо на измерении интенсивности интегрального отражения (рефлектометрии). Рефлектометрические методы исследования тканей роговицы появились сравнительно недавно с развитием конфокальных (в том числе и лазерных когерентных) методов микроскопии, однако золотым стандартом остается не потерявший своей актуальности денситометрический метод анализа яркости оптического среза. На современном уровне техники денситометрический анализ прозрачности роговицы реализован как опция при кератотопографических исследованиях с помощью камер типа Шаймпфлюга, а современная интерпретация денситометрических данных основана на предложенных физических и математических моделях роговицы (В.В. Тучин «Исследование биотканей методами светорассеивания», 1997). Исследования, используемые для интерпретации данных светорассеяния, зачастую раскрывают тонкие оптические взаимодействия ткани и светового пучка (А.В. Папаев «Исследование анизотропных оптических свойств и динамики иммерсионного просветления различных биотканей», 2007). Однако данные литературы указывают на то, что даже в тех случаях, когда физико-математическая модель предполагает многослойное строение роговицы, каждый из слоев рассматривали отдельно без учета возможного оптического взаимодействия при светорассеянии. Кроме этого, также не учитывали и естественные геометрические пропорции роговицы, ее сферическую форму.

Цель работы— на основе математического моделирования процесса взаимодействия светового пучка с двуслойной системой эпителий—строма оценить влияние интенсивности светорассеяния в пределах эпителия на ложную добавленную яркость стромы при денситометрических измерениях.

Для изучения оптических взаимоотношений между эпителием и стромой роговицы при светорассеянии плоскопараллельного некогерентного пучка была сформирована разновозрастная группа (87 человек, 174 глаза), состоящая в равных долях из подгруппы условно-здоровых лиц без системных изменений и гетерогенной подгруппы пациентов без клинического изменения прозрачности роговицы, но применяющих инстилляции препаратов в конъюнктивальную полость. Оценку светорассеяния в 1-й подгруппе проводили в произвольном режиме, а во 2-й подгруппе — в течение 200 с после инстилляций, исходя из возможной реакции структур глазной поверхности, в том числе эпителия (быстрый ответ эпителия на инстилляции лекарственных средств).

Светорассеяние оценивали с использованием Pentacam (США). Для каждого исследуемого записывали денситометрическую кривую и оценивали яркость в максимуме, соответствующем эпителию, верхней строме, средней строме и вблизи эндотелия.

Упрощенно опишем строму роговицы двумя концентрическими сферами радиусов R и R₀ (R₀<R) с общим центром O (рис. 1), пространство между которыми заполнено рассеивающим свет стромальным веществом с коэффициентом рассеивания λ, т. е. когда через это вещество проходит свет определенной мощности, то на каждом малом отрезке его траектории длины ∆ он теряет λ·∆-ю часть своей мощности. Это значит, что если при прохождении световым лучом отрезка [a;b] длиной l мм на входе в этот отрезок энергия луча равна E₀, то на выходе от нее остается E₀ · e^{-λ l} и, стало быть, количество энергии E_l, равное

E_l = E₀ · (1 – e^{-λ l}), (1)

рассеивается равномерно во всех направлениях (формально λ определяется как

При малых λl величина 1 – e^-λl ≈ λl, и мы для начала будем предполагать, что коэффициент рассеивания λ настолько мал (относительно расстояний, с которыми мы имеем дело), что можно полагать количество рассеиваемой энергии пропорциональным пути:

E_l = E₀ · λ l. (2)

В частности, если на переднюю поверхность стромы роговицы падает перпендикулярно ей луч мощности M₀, то при прохождении стромы роговицы рассеиваемая мощность равна:

M₁ = M₀ · λ(R – R₀). (3)

Внешне это выглядит так, что проходимый лучом отрезок AB(см. рис. 1) начинает светиться с яркостью M₁. Если же падающий свет считать не бесконечно узким лучом, а перпендикулярным передней поверхности стромы потоком, падающим извне на некоторую площадку S, то и светиться будет соответствующая часть стромы, лежащая под этим участком.

Нас интересует, как изменится эта картина, если передняя поверхность стромы роговицы покрыта эпителием. В данном случае будем считать его бесконечно тонкой пленкой, которая подвергает падающий луч предварительному рассеиванию равномерно во всех направлениях пространства. Тогда ровно половина поступающей извне световой мощности M₀ будет рассеиваться в обратном направлении (т.е. за пределы эпителиальной пленки, не достигая стромы роговицы), а вторая половина — поступать в вещество стромы. При этом пропущенные эпителием в строму роговицы лучи будут подвергаться повторному и условно равномерному по всем направлениям рассеянию. Именно светорассеяние этого излучения, прошедшего сквозь эпителиальные слои в стромальное вещество, при исследовании роговицы в оптическом срезе и дает то свечение стромы, по которому исследователь судит о ее прозрачности или помутнениях (рис. 2).

Нас интересует, может ли суммарная мощность M₂, рассеиваемая в нашей двухслойной модели стромальным веществом, быть больше, чем первоначальная мощность M₁ свечения отрезка AB, регистрировавшаяся до введения в модель внешней светорассеивающей пленки эпителия (мы снова считаем луч бесконечно тонким, и A — точка его входа в строму, а B — выхода) (см. рис. 1).

Поскольку (при малом λ) величина рассеиваемой мощности пропорциональна длине пути, то интересующее нас отношение мощностей k = M₂/M₁ равно отношению средней длины пути, который в случае присутствия эпителия статистически проходит в строме свет, рассеиваемый в точке A, к длине пути в случае отсутствия эпителия AB = R – R₀. При этом учтем, что во втором случае (т.е. при вычислении k = M₂/M₁) ровно половина мощности M₀ уходит из системы в обратном направлении, не попадая в строму.

Величина M₁ определена равенством (3). Для вычисления мощности M₂ рассмотрим хорду AC, ограничивающую строму внешней сферы (см. рис. 1). Хорда AC составляет угол α с касательной плоскостью P₁P₂ к внешней сфере в точке A (на рис. 1 плоскость P₁P₂ обозначена пунктиром). И рассмотрим конус с вершиной в точке A, все образующие которого наклонены под углом α к плоскости P₁P₂ (конус расположен по ту же сторону от P₁P₂ что и концентрические сферы). Тогда телесный угол, заключенный между боковой поверхностью этого конуса и плоскостью P₁P₂, равен 2π·sin α стерадианам (это следует из известного в стереометрии факта, что площадь части поверхности сферы радиуса ρ, заключенной между двумя параллельными секущими плоскостями, зависит лишь от расстояния d между ними, равна 2πρd и никак не зависит от расстояния этой пары плоскостей от центра сферы). Поэтому мощность, которая рассеивается условной пленкой эпителия внутрь этого телесного угла, равна:

так как мощность M₀ рассеивается равномерно внутри полного телесного угла, величина которого, как известно, равна 4π стерадианам. Тогда мощность, рассеиваемая условной пленкой эпителия в направлениях, заключенных между α и α + dα, равна:

а та часть этой мощности, которая подвергается вторичному рассеиванию под действием вещества стромы, равна

где l_α — длина пробега луча от точки A до его выхода из рассеивающего слоя стромы роговицы. В итоге вся энергия, рассеиваемая этим слоем, равна

где s = sinα (тогда α= arcsins) и для краткости l(s)= l_α(s)=l_arcsins.

Чтобы найти зависимость l(s), проведем из точки A хорду большей сферы AC₀, касательную к меньшей сфере, и из общего центра O опустим на нее перпендикуляр OD₀ в точку касания D₀. Обозначим длину отрезка AD₀ (т.е. половину хорды AC₀) через l₀, а угол, образуемый этой хордой с касательной плоскостью P₁P₂ — через α_кр (альфа критическое), и пусть sin α_кр = s_кр. Тогда, с одной стороны, OD₀ = R, и

а с другой — угол ∠D₀OA = α_кр (как и для любой хорды AC угол между ней и касательной в точке A равен углу между серединным перпендикуляром OD и радиусом OA) и катет AD₀ = OAsin ∠D₀OA, т. е. l₀ = R·sin α_кр= R ·s_кр, откуда

Теперь проведем произвольную хорду AC под углом α к P₁P₂(на рис. 1 она присутствует в двух вариантах: AC₁ и AC₂). Пусть D — ее середина, тогда ∠DOA = α и DA= R·sin α. Возможны два случая:

1) угол α = α₁ < α_кр и sin α = s < s_кр. Тогда хорда AC₁ лежит целиком внутри рассеивающего слоя стромального вещества и l(s)=2DA=2R·s;

2) α = α₂ > α_кр и s > s_кр. Тогда «длина пробега» луча l(s) равна отрезку AE от точки A до точки E первого пересечения хорды AC₂ с внутренней сферой. В этом случае AE = AD₂ – D₂E, где D₂ — середина хорды AC₂ и AD₂ = R·sin α₂ = R·s, а (см. рис. 1)

ED₂² = OE² – OD₂²= OE² – (OA² – AD₂²) =

R₀² – (R² –(R·sinα₂)²) = R₀² – R² + R²·sin²α₂ =

R²·sin²α₂ – (R² – R₀²) = R²·sin²α_{2 –}R²·

R²·(sin²α₂ – sin²α_кр)

и, значит, ED₂= R

В итоге функция зависимости l от s имеет вид:

где

Подставляя эту зависимость в интеграл (4), получаем в итоге, что при наличии предварительного рассеивания в пленке эпителия, мощность, рассеиваемая стромой, равна:

Сосчитаем интегралы по-отдельности:

и, наконец, используя известную интегральную формулу

Поскольку

Тогда

Наконец,

и искомое отношение M₂/M₁ (см. (3)) равно:

Удобно воспользовавшись однородностью последнего выражения по R и R_0, представить M₂/M₁ как функцию единственной переменной

что при малых (≤0,1) γ можно округлить как

и записать как

(напомним, что γ<1 и ln γ отрицателен). Погрешность такого приближенного выражения при γ≤0,1 не превосходит 5%.

Для моделирования профиля изменения добавленной яркости по глубине стромы необходимо выяснить, как зависит от ρ∈[R₀;R] яркость света, излучаемого при рассеянии бесконечно тонким сферическим слоем радиусаρ (рис. 3). Говоря более строго, если M_[ρ;ρ+Δρ] — мощность света, излучаемого слоем, заключенным между сферами радиусов ρ и ρ + Δρ, то интересующая нас яркость m_ρ есть предел

Сначала рассмотрим случай, когда исходный свет представляет собой бесконечно тонкий луч мощностью M₀, направленный из точки A под углом α к касательной плоскости P₁P₂, и пусть sin α = s и α_ρ— это угол между плоскостью P₁P₂ и касательной из точки A к сфере радиуса ρ, а s_ρ = sin α_ρ.

Этот луч «протыкает» сферу радиуса ρ в одной точке, если s≥s_кр, и в двух точках, если s∈[s_ρ; s_кр], и вся яркость m_ρ сферического слоя сводится к яркости μ_ρ(s) одной или двух точек. При этом s_кр — это синус угла между P₁P₂ и касательной к внутренней сфере радиусаR₀.

Если светящаяся точка одна, то

где Δl — длина участка луча, оказавшегося между сферами радиусов ρ и ρ + Δρ; и нам надо выявить зависимость dl/dρ от s.

Пусть D — это основание перпендикуляра, опущенного на этот луч из центра сфер O. Тогда расстояние от точки D до точки пересечения луча со сферой радиуса ρ равна

что при бесконечно малой толщине слоя dρ эквивалентно

Поскольку ρ = R·cos α_ρ и ρ²= R² (1 – s_ρ²), то в пределе

В итоге

причем, если s∈[s_ρ; s_кр], то эту величину следует удвоить, так как луч в этом случае пересекает сферу дважды, а если s≤s_ρ, то он ее вообще не задевает и dl=0 (так что можно не опасаться, что под корнем окажется отрицательная величина). Поэтому яркость точки (или, в случае s∈[s_ρ; s_кр], суммарная яркость двух точек) пересечения луча со сферой равна

где, как мы установили,

Если же свет, исходящий из точки A, представляет собой не бесконечно тонкий луч, а рассеивается равномерно по всем направлениям в пространстве, то для подсчета общей яркости слоя надо величину m_ρ(s) усреднить по всем направлениям. А поскольку, как мы уже говорили, приращение телесного угла пропорционально приращению величины s=sinα, то это s и следует использовать в качестве параметра усреднения, т. е.

(двойка в знаменателе перед интегралом — это ширина интервала усреднения: s∈[–1; 1]).

Подставляя (11) и (12) в (13), получаем:

что при подстановке

т.е. интересующая нас яркость бесконечно тонкого слоя стромы равна

Обратим внимание на то, что это общая яркость всего слоя и она не обязательно равномерна по всей его поверхности. Но поскольку реальный источник света — не точечный, а распределен по поверхностной пленке эпителия, то эта неравномерность частично сглажена.

Удалось создать физико-математическую модель, учитывающую взаимодействия светового пучка с двуслойной системой эпителий—строма, для оценки влияния интенсивности светорассеяния в пределах эпителия на добавленную яркость стромы при денситометрических измерениях.

Уникальное сочетание оптических свойств эпителиального слоя роговицы — светопропускания, обеспечивающего правильную светопроекцию на сетчатке, и повышенной способности к светорассеянию приводит к возникновению эффекта ложной добавленной яркости стромы на оптическом срезе, описываемого в первой части математической модели. При этом ложная избыточная светимость стромы будет возникать и при условии, что эпителий на поверхности роговицы рассеивает не весь светM₀, а лишь некоторую его долю p·M₀, а остальная часть мощности (1 – p)·M₀ по-прежнему проходит в строму по кратчайшему пути R – R₀. В этом случае коэффициент возрастания яркости k = M₂/M₁уменьшается до величины k_p = 1 + p (k – 1).

При толщине роговицы 500 мкм, наиболее распространенном радиусе кривизны (когда R = 7,5, R₀= 7) и в условиях полного рассеяния всего проходящего света на условном эпителии величина γ = 1/15 и M₂/M₁ = 0,925 + 0,25∙ln15=1,602≈1,6 (точная формула (6) дает значение 1,547 — погрешность применения упрощенного вычисления равна 3,4%).

При аналогичных параметрах, но если p = ½ (т.е. эпителий рассеивает ровно половину мощности M₀, а вторая половина проходит в строму не отклоняясь), вычисленный нами коэффициент k = 1,602 (см. выше) превратится в k_0,5 = 1 + 0,5 · 0,602 = 1,301. Ложная добавочная яркость стромы на оптическом срезе будет более 30%.

Если p=0,2 (т. е. эпителий рассеивает 20% света, что близко к физиологическому значению), то k_0,2 = 1 + 0,2 · 0,602 = 1,1204. Ложная добавочная яркость стромы на оптическом срезе будет более 12%.

Вторая часть математической модели объясняет эффект сильного возрастания дополнительной светимости стромы при приближении к эпителию. Этот эффект связан с тем, что найденная функция m_ρ, определенная приρ∈[R₀; R], имеет вертикальную левостороннюю асимптоту в точке R, т. е. m_ρ→ +∞при ρ →R. Полученный профиль кривой весьма схож с реальной денситометрической кривой (см. рис. 2), за исключением того, что реальный пик функции под эпителием не бесконечен, а несколько сглажен, в частности за счет того, что слой эпителия, дающий первоначальное рассеивание, не является абсолютно тонким и разрешение регистрирующего прибора имеет конечный физический шаг.

При изучении денситометрических кривых, характеризующих изменение светорассеивающих свойств роговицы в объеме, мы установили парадоксальную корреляцию (r²=0,86; p=0,013; N=174) между максимумом светорассеяния на эпителии и средним значением светорассеяния стромы (рис. 4). Учитывая, что анализируемая выборка включала в себя данные денситометрических измерений роговицы клинически здоровых лиц в совокупности с данными пациентов при изменениях, локализованных как правило только на уровне эпителия (быстрый ответ эпителия на инстилляции лекарственных средствилихимическую травму), то реально существующая связь прозрачности эпителия и стромы в данной выборке представляется весьма сомнительной. Более вероятно, что при денситометрическом анализе оптического среза роговицы возникает один или несколько оптических эффектов, приводящих к мнимому увеличению яркости стромы в условиях повышенной рассеивающей способности эпителия.

Однако подробный анализ существующих физико-математических моделей взаимодействия пучка света с веществом роговицы не выявил возможных причин такой корреляции [5, 7, 8, 10]. Одна из возможных причин — это отсутствие среди параметров, задаваемых при моделировании, тех величин, которые отражают вероятностные характеристики светорассеяния и геометрическую пропорциональность многослойной роговичной модели.

Предлагаемая физико-математическая модель полностью объясняет корреляционную связь «прозрачности» стромы с прозрачностью эпителия. Кривая с постепенным снижением денситометрической яркости от эпителия в строме также соответствует нашей оценке взаимного влияния светорассеяния на уровне слоев.

Проверим, насколько существенный вклад предлагаемая модель может вносить при реальных геометрических пропорциях роговицы и физических параметрах светорассеивающей способности ее сред и при изменении формы светового пучка. Напомним, что при принятых нами стандартных параметрах роговицы погрешность, получаемая при вычислениях с использованием упрощенной формулы (относительно точной), была оценена нами в 3,4%.

Насколько обременительны сделанные нами упрощения при изменении параметров моделирования?

По мере уменьшения толщины стромы отношение k = M₂/M₁ возрастает и стремится к бесконечности при γ → 0. Но поскольку функция (–lnγ) растет очень медленно, то даже при γ = 0,01коэффициент k = 2,076и k_0,2 = 1 + 0,2·1,076= 1,215, а при γ=0,001 — всего лишь k=2,652 и k_0,2=1,33.

Соответственно, при увеличении толщины стромы коэффициент kуменьшается, но становится меньше единицы, только когда R₀ меньше, чем 70% от R(абстрактная толщина роговицы >5 мм).

Таким образом, толщина роговицы в диапазоне известных анатомических значений не будет оказывать существенного влияния при денситометрическом исследовании на величину эффекта ложной дополнительной светимости стромы и этот эффект будет обязательно проявляться с интенсивностью, зависящей только от прозрачности эпителия.

То, что мы считали первоначальный свет бесконечно узким лучом, а не потоком определенной ширины, существенных изменений не несет: в случае потока M₂не изменится, а M₁ увеличится по сравнению со случаем луча, но даже при ширине потока, равной R, — менее чем на 6% (а при меньшей ширине эффект еще менее заметен — мы делали соответствующие оценки). Соответственно, и коэффициент возрастания яркости стромы роговицы k = M₂/M₁ уменьшится, но менее чем на 6%.

Если учитывать, что яркость луча в рассеивающей среде убывает не линейно (см. (2)), а экспоненциально (см. (1)), то величины M₁ и M₂ уменьшатся, причем M₂ сильнее, чем M₁, так что k = M₂/M₁ уменьшится, причем при

существенно, но обычно λ гораздо меньше.

Как видим, все рассмотренные случаи приводят к завышению оценки интересующей нас величины M₂/M₁, причем существенное увеличение по всему объему стромы происходит только при весьма значительном «помутнении» эпителия, однако в связи с неравномерностью распределения добавленной ложной светимости эффект уже весьма заметен в передней строме любой здоровой роговицы.

Мы сочли не лишним сделать проверку, чтобы застраховаться от случайных ошибок в вычислении профиля кривой, описывающего изменение ложной дополнительной светимости в строме роговицы послойно. Для этого найденную нами ранее в (5) величину M₂яркости всего стромального слоя мы сосчитали теперь при помощи найденной в выражении (14) послойной яркости m_ρ:

В итоге получили

что полностью совпало с выражением для M₂ в формуле (5), полученным ранее другим способом — без использования послойной яркости.

Доказано, что прямые измерения интенсивности светорассеяния многослойных сферических объектов с различными оптическими характеристиками отдельных слоев не могут быть корректными. Сложные оптические взаимодействия в многослойной модели приводят к ложному увеличению яркости более прозрачных объектов, находящихся за интенсивно рассеивающим слоем. При этом функция, описывающая прирост ложной рассеивающей способности относительно прозрачного слоя, резко возрастает к границе между слоями (см. рис. 2).

Роговица человеческого глаза анатомически представляет собой многослойную структуру, основными функциями которой являются светопропускание и светопреломление. Исходя из этого, объективное выявление изменений прозрачности роговицы является основным инструментом оценки эффективности различных методов лечения и диагностики. Полученные в работе данные потребуют пересмотра привычных принципов денситометрического анализа яркости оптического среза роговицы и в конечном счете могут стать основой для объективизации трактовки изменений прозрачности роговицы.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15−29−03843.

The article is supported by RFFI grant №15−29−03843.

Участие авторов:

Концепция и дизайн исследования: С.А., О.К., И.Н.

Сбор и обработка материала: О.К., И.Б., С.П., М.Н.

Статистическая обработка: О.К., И.Н.

Написание текста: С.А., О.К., И.Н., М.Н.

Редактирование: С.А., Г. Е., Л.П.

Конфликт интересов отсутствует.