Введение

Определение давности наступления смерти (ДНС) в раннем посмертном периоде преимущественно основывается на термометрии ядра трупа, кривая охлаждения которого из-за наличия в ней фазы температурного плато имеет не экспоненциальный, а сигмоидальный характер. Математическим описанием охлаждения глубоких тканей трупа при постоянной внешней температуре является предложенное в 1962 г. T.K. Marshall и F.E. Hoare трансцендентное уравнение, содержащее линейную комбинацию двух экспонент:

, (1)

где Т — текущая температура ядра трупа, (°C); Т_а — температура внешней среды (°C); Т₀ — начальная температура тела в диагностической точке в момент наступления смерти человека (°C); k — постоянная охлаждения (ч⁻¹); p — постоянная температурного плато (ч⁻¹); t — ДНС (ч) [1].

Практически сразу после формулирования уравнения (1) было установлено, что входящие в его состав константы связаны между собой линейной зависимостью и принимают свои значения в определенных пределах под влиянием большого числа факторов, наиболее значимыми из которых оказались условия охлаждения, а также масса и площадь поверхности мертвого тела [2, 3]. Наиболее объемная работа по экспериментальному установлению значений констант уравнения (1) была проведена C. Henssge, который на основе тщательного статистического анализа предложил собственный метод оценки константы охлаждения, учитывающий массу трупа, а также некоторые значимые условия его охлаждения (наличие и число слоев одежды, характер ложа трупа, состояние внешней среды) [4, 5]. Также C. Henssge уточнил вид линейной зависимости константы температурного плато от константы охлаждения. В частности, для ректальной температуры характерны пропорции:

p = 5k при Ta ≤23,2 °C, (2)

p = 10k при Ta >23,2 °C, (3)

а для краниоэнцефальной:

p ≈ 8,425k, (4)

Метод C. Henssge позволил приближенно вычислять константы уравнения (1) и определять ДНС на основе однократного измерения ректальной или краниоэнцефальной температуры трупа. Однако этот метод обладал рядом недостатков, наиболее весомыми из которых являлись наличие погрешностей оценок ДНС, особенно значительных при нестандартных условиях охлаждения тела, а также необходимость точного измерения его массы в случае ректальной термометрии [6, 7]. В этой связи возникла идея находить константы уравнения (1), опираясь не на моделирование бесконечного множества внешних факторов, а путем динамической термометрии трупа с последующей математической конкретизацией процесса охлаждения в данных уникальных условиях.

Из-за сложности поставленной задачи первые попытки ее решения ограничивались поиском методов индивидуализации охлаждения глубоких тканей трупа, описываемого различными аппроксимациями закона охлаждения Marshall—Hoare [8—11]. В последующем актуальным становится нахождение констант непосредственно уравнения (1) или его обобщений. В качестве возможных решений данной проблемы были предложены методы определения ДНС на основе преобразования Лапласа, а также путем нелинейного оценивания индивидуальных значений констант уравнения Marshall—Hoare по данным многократной термометрии [12, 13].

Предложенные методы индивидуализации охлаждения глубоких тканей трупа сделали возможным определение ДНС без антропометрии мертвого тела и учета внешних условий его остывания. Однако, уменьшив величину погрешностей оценок ДНС, они не позволили кардинально решить проблему их наличия. Кроме того, реализация этих методов требовала проведения многократной высокоточной термометрии трупа и выполнения трудоемких вычислительных операций. В силу названных обстоятельств на практике использование закона охлаждения Marshall—Hoare при определении ДНС ограничилось только классическим методом C. Henssge со всеми присущими ему недостатками.

Между тем современное состояние вычислительной математики и развитие компьютерных технологий не исключает возможности решения задачи индивидуализации закона охлаждения Marshall—Hoare на основе двукратного измерения температуры глубоких тканей трупа. В этом случае становится доступным автоматизированное нахождение оценок ДНС, погрешности которых были бы обусловлены только наличием ошибок измерения исходных показателей, входящих в структуру уравнения (1), и сходились бы к нулю при повышении точности соответствующих измерений.

Цель исследования — разработка и реализация в формате онлайн-приложения численного метода определения ДНС и ее предельных ошибок, вызванных погрешностями метрологических процедур, основанного на законе охлаждения Marshall—Hoare и двукратной термометрии ядра трупа.

Материал и методы

Методологический дизайн исследования представляет собой численное нахождение минимума целевой функции двух переменных, полученной из системы нелинейных уравнений (СНУ) Marshall—Hoare, отражающих динамику двукратной термометрии ядра трупа. Для решения поставленной задачи нелинейной оптимизации использовали гибридный итеративный алгоритм из бесплатно распространяемой библиотеки MINPACK [14].

Разработанный метод определения ДНС реализовывали в формате онлайн-приложения с построением кривой охлаждения и ее предельных интервалов, а также трехмерной визуализацией целевой функции и итерационной процедуры ее минимизации. Код онлайн-программы составляли на языке Python 3.

Валидацию разработанного метода определения ДНС выполняли путем сравнения его решений с массивом данных, полученных методом C. Henssge для ректальной и краниоэнцефальной температуры при разных условиях охлаждения [4, 5]. Валидацию предельных интервалов выполняли методом вычислительного эксперимента. Решения модификаций C. Henssge уравнения (1) для тестовой выборки находили методом Ньютона [15].

Результаты

Для двукратной термометрии ядра трупа закон охлаждения Marshall—Hoare принимает вид СНУ с тремя неизвестными (k, p и t):

(5)

где Т₁ и Т₂ — результаты первого и повторного измерений температуры тела (°C), а Δt — промежуток времени между ними (ч). Найти значения этих неизвестных, присущих данным условиям охлаждения мертвого тела, означает конкретизировать их уникальность и одновременно определить ДНС.

Из-за наличия трех переменных СНУ (5) имеет бесконечное множество решений, только одно из которых является искомым. Но если выразить константу температурного плато через константу охлаждения, воспользовавшись пропорциями (2) — (4), количество неизвестных сокращается до двух, а число решений СНУ (5) может быть сведено к единственному путем отбрасывания корней, не имеющих физического смысла в рамках рассматриваемой задачи или не удовлетворяющих граничным условиям.

Аналитического способа решения СНУ (5) не существует, однако оно может быть найдено методами численной оптимизации [16]. Классические итеративные методы решения нелинейных систем, такие как метод простых итераций и метод Ньютона, не сходились для большинства генерированных тестовых данных. Поэтому для нахождения корня СНУ (5) использовали метод минимизации целевой функции

, (6)

где fi(x)=0, i=1,2 — уравнения СНУ (5), а x=(k,t)T — вектор неизвестных.

Поскольку функция (6) неотрицательная, ее минимальное значение, равное нулю, достигается в точке, являющейся решением СНУ (5). Для минимизации целевой функции (6) был выбран гибридный итеративный алгоритм (Powell’s dog leg method) из библиотеки MINPACK [17]. Данная математическая библиотека содержит автономные программные модули, которые могут быть непосредственно включены в любую авторскую программу, предназначенные для решения СНУ, в том числе и путем минимизации невязок соответствующих целевых функций методом наименьших квадратов [14].

Тестирование алгоритма оптимизации MINPACK показало, что его выполнение из какой-либо одной начальной точки не гарантирует нахождения глобального минимума функции (6) и во многих случаях находит лишь ее локальный минимум, расположенный в окрестности этой точки. В процессе валидации было установлено, что для гарантированного нахождения глобального минимума целевой функции (6) алгоритм оптимизации необходимо выполнить для дискретного множества начальных точек, первая координата которых, соответствующая константе охлаждения, определяется путем перебора значений с шагом, равным 0,01 ч⁻¹, на интервале (0, 1), а вторая координата, соответствующая ДНС, всегда равна 1 ч. Из-за переполнения разрядной сетки ЭВМ верхний предел области значений переменной t ограничивали 48 ч. Полученное множество решений СНУ (5) сокращали до единственного на основе ряда логических правил, заключавшихся в исключении точек с координатами, не имеющими физического смысла (координаты искомого решения могут быть только положительными числами из определенных областей значений). В ходе валидации искомым решением, соответствовавшим оценкам метода C. Henssge, всегда оказывался минимум, найденный выполнением алгоритма оптимизации из начальной точки с наименьшим значением константы k.

Рассмотренный метод численной оптимизации при отсутствии погрешностей измерения пяти входящих в структуру СНУ (5) параметров (Т₁, Т₂, Т₀, Т_а и Δt) находит значение ДНС с точностью, заданной в алгоритме оптимизации, т.е. фактически безошибочно. Однако на практике в силу наличия метрологических погрешностей каждому из пяти необходимых показателей будут присущи определенные ошибки измерения, которые неизбежно скажутся на результате итерационного алгоритма определения ДНС.

Компьютерное моделирование на массивах данных с визуализацией зависимости решений СНУ (5) от параметров ошибок измерений показало, что максимальные ошибки оценок ДНС всегда достигаются в граничных точках при определенных сочетаниях предельных измерительных погрешностей. Поэтому для нахождения пределов суммарного влияния измерительных ошибок на вычислительную оценку ДНС достаточно повторить изложенный алгоритм оптимизации для всех сочетаний результатов измерений каждого из пяти исходных показателей с их предельными абсолютными погрешностями и выбрать из полученного множества оценок ДНС их максимум и минимум.

Изложенный алгоритм определения ДНС с включенным в него автономным модулем из библиотеки MINPACK был реализован в формате онлайн приложения Warm Bodies Z (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2023669845), доступного по URL-адресу: https://forenscalc.ru/zcalc. Помимо вывода числовых результатов приложение строит график кривой охлаждения и ее предельных интервалов, а также выполняет трехмерную визуализацию целевой функции и итерационной последовательности нахождения ее минимума.

Пример

Труп обнаружен на улице при температуре воздуха −11,0 °C. В ходе осмотра тела проведено два измерения ректальной температуры с промежутком времени между ними равным 33 мин 18 с (0,555 ч). При первом измерении температура трупа составила 25,0 °C, при повторном — 23,9 °C. Инструментальная погрешность средства измерения ректальной температуры равнялась 0,1 °C. В предшествующие началу осмотра тела 12 ч температура воздуха отклонялась от зарегистрированной в ходе осмотра не более чем на 3,0 °C. Необходимо определить ДНС на основе закона охлаждения Marshall—Hoare, приняв начальную температуру равной 37,2 °C с возможностью отклонения от нее не более чем на 0,3 °C.

Согласно изложенному алгоритму в соответствии с законом охлаждения Marshall—Hoare с учетом функции (2) C. Henssge на момент первой термометрии трупа ДНС при заданных значениях исходных показателей составляет 7,74 ч, но вследствие наличия погрешностей их измерения может находиться в пределах 6,23—9,90 ч (рис. 1 на цв. вклейке). Графики целевой функции и итерационного процесса ее минимизации показаны на рис. 2, 3 на цв. вклейке. Полученная кривая охлаждения соответствует таковой по методу C. Henssge для тела массой 70 кг и корректирующего фактора равного 1.

Рис. 1. График ректальной температуры для данных из примера.

Сплошной линией маркирована кривая охлаждения при отсутствии метрологических погрешностей, штриховыми линиями обозначены ее предельные интервалы при инструментальной погрешности средства термометрии трупа, равной 0,1 °C, пунктирными — 0,01 °C.

Рис. 2. График целевой функции (6).

Красными точками обозначена итерационная последовательность нахождения глобального минимума целевой функции.

Рис. 3. График итерационного поиска глобального минимума целевой функции (6).

Обсуждение

Несмотря на свой феноменологический характер, уравнение (1) в модификациях C. Henssge представляет собой наиболее востребованный при определении ДНС закон охлаждения мертвого тела. Однако из-за отсутствия методов нахождения индивидуальных значений констант данного уравнения его использование было всегда сопряжено с наличием неопределенности оценок ДНС. Помимо затруднительности учета уникальности процесса охлаждения второй причиной неопределенности оценок ДНС, долгое время ускользавшей от внимания исследователей, является наличие погрешностей измерения показателей, входящих в структуру модификаций уравнения (1), в том числе массы тела и корректирующего фактора [18—20].

Нерешенность проблемы ошибок уравнения (1) в конечном счете побудила судебных медиков добиваться повышения точности оценок ДНС путем использования сложных нелинейных регрессионных моделей и нейронных сетей, а метод C. Henssge в научном аспекте сохранил свою востребованность лишь как эталон для генерации выборок при машинном обучении и последующем тестировании создаваемых диагностических моделей [21].

Разработанный в рамках настоящего исследования численный метод определения ДНС позволяет учесть в математическом выражении закона Marshall—Hoare уникальность охлаждения мертвого тела, избавив тем самым метод C. Henssge от наиболее существенных его недостатков, в том числе связанных с необходимостью определения массы трупа.

Строго говоря, причинами ошибок оценок ДНС в данном случае помимо измерительных погрешностей также являются погрешности использованного метода численной оптимизации и ограничения разрядной сетки ЭВМ. Однако ввиду того, что погрешности последних двух групп пренебрежимо малы, неточность вычислительных оценок предложенного метода объясняется практически только несовершенством необходимых метрологических процедур и может быть сделана сколько угодно малой при стремлении ошибок измерения к нулю. Так, в рассмотренном примере наибольшее влияние на величину предельных ошибок определения ДНС оказали погрешности динамической термометрии тела. Отсюда для уменьшения ошибок итогового результата достаточно увеличить точность термометрии трупа. Например, в анализируемом случае уменьшение погрешности одного лишь средства измерения температуры тела с 0,1 до 0,01 °C сужает предельный интервал ДНС до 7,54—8,05 ч (см. рис. 1 на цв. вклейке).

Из-за возможности учета уникальности охлаждения разработанный метод определения ДНС при условии правильного выбора начальной температуры характеризуется отсутствием каких-либо ограничений к своему использованию по танатогенезу, массе и особенностям охлаждения мертвого тела. Противопоказанием для практического применения метода является лишь изменение условий охлаждения трупа и техники его динамической термометрии.

Выводы

1. На основе итеративного алгоритма нелинейной оптимизации разработан численный метод определения ДНС, позволяющий путем двукратной термометрии учесть в рамках закона Marshall—Hoare уникальность условий охлаждения трупа.

2. Неточность оценок ДНС предложенного метода обусловлена практически только наличием метрологических погрешностей и может быть вычислена при наличии информации о величине последних.

3. Разработанный вычислительный алгоритм, включающий автономный модуль из библиотеки MINPACK, реализован в формате онлайн-приложения Warm Bodies Z, помимо выполнения числовых операций обеспечивающего вывод графика кривой охлаждения и ее предельных интервалов, а также выполняющего трехмерную визуализацию целевой функции и итерационной последовательности нахождения ее минимума.

4. Разработанный численный метод определения ДНС и реализующее его онлайн-приложение рекомендуются для экспертного установления ДНС в раннем посмертном периоде.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.